Данный пост рассчитан на людей, знакомых с азами квантовой механики. Мы подробно поговорим о чистых, смешанных и спутанных состояниях и о различной природе неопределённости в квантовой механике.
Сегодня мы побеседуем о различных видах неопределённости, с которыми мы сталкиваемся в квантовой механике. При этом ключевым математическим объектом рассмотрения для нас будет являться матрица плотности. Оказывается, что многие, прослушав стандартный курс квантовой механики, плохо себе представляют её смысл.
Большинство учебников начинаются с утверждения, что состояние квантовой системы задаётся вектором в гильбертовом пространстве, на котором действуют операторы, соответствующие наблюдаемым. Неудивительно, что читатель испытывает дискомфорт, когда через несколько сот страниц он узнаёт, что вообще-то не любое состояние системы можно описать с помощью одного единственного вектора состояния. Наиболее общее состояние квантовой системы задаётся с помощью матрицы плотности — так называемой некогерентной смеси квантовых состояний.
Оказывается, за понятиями смеси и матрицы плотности стоит очень простой физический смысл. Они соответствуют вероятностному характеру нашей информированности о состоянии системы. Но как же, воскликнет читатель, — ведь в квантовом мире вероятностно всё! В чём разница?
Всё дело в том, что в квантовой механике есть две различных причины вероятностного исхода событий. Одна из них является отражением чисто классического явления — нашего незнания того, в каком состоянии находится система. Если Вам не сказали, в какой из двух коробок прячется кот, и Вы открываете одну из них наугад, это ещё не значит, что в момент открытия происходит коллапс волновой функции кота, и он вдруг материализуется в одной из коробок.
А вот другая причина имеет чисто квантовую природу, и именно с её изучения начинается большинство курсов по квантовой механике. Связана она с процессом измерения состояния квантовой системы. Она заключается в том, что, зачастую, даже идеально точно зная состояние системы и параметры измерения, Вы не можете однозначно предсказать его исход. Тут важно оговориться — смотря какого измерения. Если система находится в чистом состоянии, то для каждого такого состояния можно подобрать измерение, результат которого будет достоверно известен заранее. Таким образом, чистое состояние в квантовой механике является аналогом классического состояния, не несущего вероятностный характер — такого, в котором значения определённых наблюдаемых известны точно.
Поясним вышесказанное на примере всем известного эксперимента Штерна-Герлаха. Пролетая через магнитное поле, частица, обладающая спином, может отклониться в ту или иную сторону. Таким образом, глядя на её траекторию, мы можем определить её спин.
Для начала рассмотрим классическую версию этого эксперимента. Пусть наши частицы — маленькие заряженные шарики, вращающиеся вокруг собственной оси. Классическое “чистое” состояние частицы — такое, в котором нам заранее известно направление оси вращения частицы. А значит, мы можем предсказать исход любого измерения, связанного с её пролётом через магнитное поле. Подчёркнём, что в классической механике знание состояние системы позволяет предсказать исход любого эксперимента. Например, если ось вращения частицы направлена вдоль оси z, то, приложив магнитное поле также вдоль оси z, мы можем предсказать, отклонится частица вверх или вниз. Если же магнитное поле направлено вдоль оси x, то частица гарантированно никуда не отклонится.
Классический аналог смешанного состояния соответствует вероятностному характеру нашей информированности о направлении оси вращения частицы. Пусть нам, например, известно, что частица с вероятностью ½ закручена вокруг оси z либо в одну, либо в другую сторону. Либо имеется поток частиц, половина из которых закручена в одну сторону, а половина — в другую, но мы не знаем, как именно каждая из них. Повторимся, неопределённость в данном случае является совершенно классическим явлением и связана исключительно с неполнотой нашей информированности о состоянии системы.
Теперь перейдём к квантовой постановке задачи. Для простоты будем рассматривать частицу со спином ½, измерение проекции спина которой вдоль любой оси может иметь всего два исхода — вверх или вниз. Сначала мы приготовим частицу в чистом состоянии, для чего мы воспользуемся прибором Штерна-Герлаха в первый раз. Предположим, что в него влетает квантовая частица; неважно, в каком состоянии. В момент нашего наблюдения за её траекторией осуществляется измерение, а волновая функция коллапсирует в одно из двух состояний, соответствующих противоположным проекциям спина вдоль той или иной оси. Сразу после этого направление спина частицы становится вполне определённым и, более того, нам известным. Теперь мы вновь воспользуемся прибором Штерна-Герлаха, уже для проведения измерения над частицей, чьё состояние известно. Если мы снова измерим проекцию спина частицы на то же направление, то всенепременно получим тот же результат, что и в первом измерении. В этом и заключается смысл того, что частица после прохождения через первый измерительный прибор оказывается в чистом состоянии, — существует измерение, результат которого мы можем предсказать.
С другой стороны, если бы во втором опыте мы измеряли проекцию спина на любую другую ось, то в таком случае предсказать с результат с достоверностью было бы уже невозможно. Именно в этом и заключается природа квантовой неопределённости: сколь угодно точное знание одной наблюдаемой может быть в противоречии со знанием значения другой — именно таков смысл соотношения неопределённости Гейзенберга. Ещё раз: состояние частицы с проекцией спина вдоль оси z характеризуется тем, что, во-первых, так же как и в классической механике, измерив её спин вдоль z, мы получим наперёд известный результат, а во-вторых, тем, что достоверно предсказать результат измерения проекции спина вдоль любой другой оси мы уже не можем — и это есть эффект квантовый.
Перейдём наконец к квантовой некогерентной смеси. Пусть теперь в наш прибор влетает поток частиц, половина из которых закручена вдоль z вверх, а половина — вниз. То есть, так же, как и в классическом случае, мы не обладаем полной информацией о состоянии каждой частицы, и вероятностным является уже само по себе наше знание о состоянии системы. Ясно, что в данном случае не существует эксперимента по измерению проекции спина, результат которого мы можем предсказать.
Понятие матрицы плотности позволяет естественным образом учитывать чисто классический индетерминизм на квантовом уровне. Иными словами, она является квантовым аналогом классической функции распределения вероятности. У матрицы плотности вида
ρ = α1 |ψ1⟩⟨ψ1| + α2 |ψ2⟩⟨ψ2| + ...
величины αi являются чисто классическими вероятностями того, что частица находится в одном из состояний |ψi⟩.
Здесь нам необходимо сделать важную оговорку. Хотя матрица плотности в квантовой механике и отвечает ситуации, когда мы не обладаем полной информацией о системе, природа этого незнания может быть не только классической, но и квантовой. И здесь мы переходим к рассмотрению одного из самых интересных квантовых феноменов — спутанности (entanglement), лежащей в основе парадокса Энштейна-Подольского-Розена и квантовой телепортации.
Одной из особенностей квантового мира является способность двух квантовых систем, взаимодействовавших на каком-то этапе, а после разнесённых в пространстве, сохранять информацию друг о друге. Или, вернее сказать, это свойство квантовых систем даже после прекращения взаимодействия между ними продолжать находиться в состоянии, которое невозможно описать, рассматривая их по отдельности. В подобных случаях оказывается, что отсутствие информации о второй части системы естественным образом вынуждает нас описывать состояние первой системы при помощи матрицы плотности, даже если состояние полной системы является чистым.
Для того, чтобы пояснить сказанное на простом примере, вернёмся к уже описанной двухуровневой системе, или, что то же самое, к состояниям частицы со спином ½. Будем для определённости называть их “вверх” (|↑⟩) и “вниз” (|↓⟩).
Предположим, что частица находится в чистом состоянии
|ψ⟩ = ( |↑⟩+ |↓⟩)/√2 .
Если мы будем измерять наблюдаемую, возможные значения которой отвечают состояниям |↑⟩ и |↓⟩, то будем с вероятностью ½ получать один из двух исходов. Однако, как мы уже знаем, само по себе это не означает, что частица находится в смешанном состоянии, — поскольку оно описывается единственным вектором |ψ⟩, оно по определению является чистым. А значит, существует измерение, результат которого будет однозначен. Например, если состояния “вверх” и “вниз” отвечают проекциям спина вдоль оси z, то |ψ⟩ отвечает строго определённому значению проекции спина вдоль оси x.
Матрица плотности, описывающая такое состояние, является проектором
Pψ = |ψ⟩⟨ψ| .
С другой стороны, если система находится в состоянии
ρmixed = ½ |↑⟩⟨↑| + ½ |↓⟩⟨↓| ,
отвечающем классической ситуации “то ли вверх, то ли вниз”, то эксперимента, результат которого мы можем с достоверностью предсказать, не существует. Математически это можно сформулировать как невозможность записать матрицу плотности в виде единственного проектора:
∄|φ⟩: ρmixed = |φ⟩⟨φ| .
Оказывается, что ко второй ситуации можно естественным образом прийти, рассматривая состояния системы, состоящей из двух спинов. Для простоты ограничимся случаем, когда система из двух спинов находится в максимально спутанном состоянии.
|Ψmax⟩ = ( |↑⟩ |↑⟩ + |↓⟩ |↓⟩)/√2 .
Здесь первый и второй векторы в произведениях отвечают, соответственно, состояниям первой и второй подсистем.
Для начала поясним название этого вектора. Предположим, что мы можем проводить измерение проекции спина вдоль оси z в одной из двух подсистем. Проведя такой опыт, мы незамедлительно определим, в каком состоянии находится вторая подсистема. Или, вернее сказать, мы узнаем, в каком состоянии вторая подсистема окажется после нашего измерения (ведь коллапс волновой функции произойдёт именно вследствие нашего вмешательства в первую систему). Действительно, если в результате измерения в первой системе результат окажется равным |↑⟩, это будет означать, что общая волновая функция системы оказалась равной |↑⟩|↑⟩, и наоборот. Более строго, вектор |Ψmax⟩ ортогонален состояниям с разным спином:
⟨↓|⟨↓|Ψmax⟩ = ⟨↑⟨↑|Ψmax⟩ = 0 ,
а значит невозможно измерение, при котором результаты измерения двух спинов оказались бы различными. В этом и заключается смысл спутанности — проводя измерение над одной частью большой системы, мы тут же “бесплатно” узнаем и состояние другой её части. При этом, что характерно, узнаём совершенно мгновенно, как бы далеко та часть от нас не находилась.
В этом и заключается смысл парадокса Энштейна-Подольского-Розена. В самом деле, кажется, что мы можем таким образом получать информацию об объекте, находящемся от нас сколь угодно далеко. Но ведь информация не может распространяться быстрее скорости света!
Разрешает мнимый парадокс довольно просто. Хотя мы и можем что-то мгновенно узнать о находящейся сколь угодно далеко от нас системе, наладить канал передачи информации с помощью этого трюка не удастся: наблюдатель, находящийся вблизи удалённой от нас системы даже не поймёт, что мы уже косвенно провели над ней измерение. А сообщить ему о результате нашего измерения быстрее, чем со скоростью света, никак не получится.
Зададимся теперь вопросом — а как, собственно, каждый из наблюдателей, имеющих на руках по одной из частей системы, должен свою подсистему описывать? Нетрудно догадаться, что, не имея информации о второй части системы, наблюдатель будет с равной вероятностью получать в ходе эксперимента одно из двух значений проекции спина. Но ведь мы уже знаем, что такое положение дел в точности соответствует смешанному состоянию подсистемы!
Таким образом, с точки зрения наблюдателя, имеющего доступ исключительно к первой подсистеме, чистое состояние |Ψmax⟩ полной системы эквивалентно смешанному состоянию ρmixed его подсистемы. Оказывается, что утверждение является общим: систему находящуюся в смешанном состоянии всегда можно описать как подсистему большей системы, находящейся в чистом состоянии. Как пишет в своей книге Джон Прескилл, “The notion that an open system may always be regarded as part of a larger closed system is fondly known as the church of the larger Hilbert space”. Математической операцией, позволяющей перейти от состояния большой системы (не обязательно чистого — в общем случае оно также может быть смешанным) к состоянию её подсистемы, является частичное взятие следа (partial trace).
Заметим однако, что квантовая природа данного эксперимента и его отличие от двух “классических чёрных ящичков” заключается также и в том, что имея доступ к обеим системам, мы вполне можем постараться и организовать эксперимент таким образом, чтобы его результат был предопределён, — поскольку полная система находится в чистом состоянии, описываемом одним единственным вектором |Ψmax⟩.
Сформулируем вкратце наши основные выводы:
“Чистое состояние” в классической физике отвечает наличию у наблюдателя полной информации о системе. Результат любого эксперимента может быть предсказан. Состояние задаётся значениями всех координат и импульсов. Иными словами, распределение вероятности на фазовом пространстве имеет вид произведения дельта-функций.
q1 = q1,initial , p1 = p1,initial , ....
ρ(q1 ,p1 , ...) = 𝛿(q1 - q1,initial) 𝛿(p1 - p1,initial) ...
“Смешанное состояние” в классической физике есть не что иное, как описание системы на языке распределений вероятности и соответствует неполноте информации о системе. Значения координат и импульсов задано вероятностным распределением в фазовом пространстве.
ρ(q1 ,p1 , ...) — произвольное распределение.
Чистое состояние квантовой системы — такое, в котором мы имеем наиболее полную информацию о системе. Мы не можем точно предсказать исход большинства экспериментов, но непременно существуют измерения, чей исход известен. Состояние описывается одним вектором в гильбертовом пространстве. Если степеней свободы несколько, то такой вектор является тензорным произведением векторов, отвечающих отдельным степеням свободы, или суммой таковых.
Пример чистого состояния в системе с одной степенью свободы:
|Ψpure,1⟩ = ( |↑⟩ -|↓⟩)/√2 ,
ρpure,1 = |Ψpure,1⟩⟨Ψpure,1| .
Пример чистого состояния в системе с двумя степенями свободы:
|Ψpure,2⟩ = ( |↓⟩ |↑⟩ + |↑⟩ |↓⟩)/√2 ,
ρpure,2 = |Ψpure,2⟩⟨Ψpure,2| .
Смешанное состояние квантовой системы — ситуация, когда система с некоторой вероятностью находится в одном из чистых состояний. Как и в классическом случае, причиной является отсутствие у нас полной информации. Но если в классическом случае для предсказания результата эксперимента нам всегда достаточно знать, каково состояние измеряемой системы, то в квантовом случае, благодаря явлению запутанности, нам может также потребоваться информация о другой системе, спутанной с данной.
Пример смешанного состояния в системе с одной степенью свободы:
ρmixed = ¼ |↑⟩⟨↑| + ¾ |↓⟩⟨↓| .
Пример смешанного состояния в системе с двумя степенями свободы:
ρpure,2 = ⅓|1⟩|1⟩⟨1|⟨1| + ⅔|2⟩|2⟩⟨2|⟨2| .
