Сразу скажем, что данная статья отличается большими размерами и довольно сильно математизирована.
Как мы уже неоднократно упоминали, в процессе вычислений в квантовой теории поля зачастую возникают расходящиеся интегралы. Точнее, они могут возникнуть при попытке продвинуться в вычислениях чуть дальше самого грубого приближения, с которым обычно проблем не возникает и которое зачастую не даёт ничего нового по сравнению с классической физикой.
Для начала, отметим, что “точные решения” большинства задач в самых разных областях физики неизвестны. Более того, особой надежды на их нахождение и нет (порой отсутствие таковых даже можно доказать — ситуация типичная для математики). С другой стороны, конечная цель физика — качественное понимание сути происходящих процессов. Количественное же описание всегда достигается в том или ином приближении. Поэтому решённой задача обычно считается тогда, когда предъявляется конструктивный способ вычислять приближения к точному решению со сколь угодно высокой точностью.
Например, в физике элементарных частиц типичный подход заключается в том, чтобы при изучении элементарных частиц сначала считать их невзаимодействующими, а затем начинать со всё большей точностью учитывать малое (в каком-то смысле) их взаимодействие между собой. Как мы уже знаем, работает такой подход не всегда. Скажем, в квантовой хромодинамике свободные кварки тут же слипаются в составные частицы, а вовсе не пролетают каждый в свою сторону, едва замечая друг друга. Однако сосредоточимся на некоторое время на более простой ситуации, которая, например, имеет место быть, в самой известной и многократно проверенной квантово-полевой модели — квантовой электродинамике, описывающей взаимодействия заряженных частиц и фотонов.
Последовательный учёт поправок к тому или иному процессу может быть естественным образом организован в виде так называемого ряда теории возмущений. Графическим изображением его членов являются фейнмановские диаграммы, в каждой из них закодирована вполне определённая формула.
Нижеприведённые диаграммы соответствуют распространению свободного фотона:
В нулевом порядке мы просто пользуемся описанием того, как фотон распространяется в свободной теории, лишённой каких-либо взаимодействий. Порядок диаграммы определяется количеством входящих в неё вершин (точек, где сходятся одна волнистая линия, фотонная, и две сплошные, фермионные — на рисунке они отмечены буквой a). Чем больше вершин, тем порядок диаграммы выше и тем меньше её вклад, поскольку каждой вершине соответствует малый параметр. Для рассматриваемого процесса следующий возникающий после нулевого порядок — второй. А интерпретировать соответствующую диаграмму можно как кратковременное превращение фотона в виртуальную пару, состоящую из электрона и позитрона.
Аналогичным образом выглядят поправки к процессам рассеяния на ускорителях элементарных частиц. Типичная реакция выглядит так: навстречу друг другу направляются два пучка частиц, предварительно ускоренных до околосветовых скоростей. Небольшая их часть взаимодействует друг с другом, конечные продукты этих реакций регистрируются детектором, а результаты (количество столкновений, выделившаяся энергия и т.д.) сравниваются с предсказаниями теории. Рассеяние двух электрически заряженных частиц посредством электрического поля, переносчиком которого являются фотоны, изображается с помощью фейнмановских диаграмм следующим образом:
Первой из этих диаграмм вполне достаточно для того, чтобы вывести кулоновский потенциал, эффективно описывающий электрическое взаимодействие между заряженными частицами на низких энергиях. Если же мы хотим изучать поведение частиц при высоких энергиях, то нам необходимо вычислять поправки с большим количеством вершин.
При этом оказывается, что при вычислении диаграмм, содержащих петли, частенько возникают расходящиеся интегралы — если говорить школьным языком, то “ответ получается равным бесконечности”. Такое положение дел некоторое время смущало физиков, пока они не начали рассуждать примерно так: Бог с ними, с бесконечностями, мало ли что там получается на бумажке. Наша цель проста — измерить что-то при помощи эксперимента A, создать теорию X и с их помощью предсказать результат эксперимента B. Иными словами, связка
A → X → B
должна работать адекватно. В то же время, если теория X сама по себе выглядит немного подозрительно, то это не так уж страшно.
Попытаемся изложить наши мысли чуть более строго. Допустим, в экспериментах A и В мы измеряются величины a и b, соответственно. Пусть, в свою очередь, x — некий параметр нашей теории, через который мы пытаемся выразить обе величины. Иначе говоря, наш исходный план таков: измерить a, вычислить x, вычислить b.
Однако, зачастую оказывается, что при попытке предсказать величину a (перед тем как начать её измерять) наша теория выдаёт что-то вроде
a = a(x, Λ) ,
где a(x, Λ) представляет из себя некоторое страшное выражение, в которое, помимо всего прочего, входит совершенно нефизический и невесть откуда взявшийся параметр Λ. Берётся этот параметр чаще всего в результате регуляризации — процедуры, при которой в расходящемся интеграле, бесконечный предел заменяют этой самой Λ. Разумеется, в конце вычислений нам бы хотелось либо осуществить переход Λ→∞. А ещё лучше — если этот параметр и вовсе не будет присутствовать в окончательном ответе.
Теперь проделаем аналогичные выкладки для второго эксперимента:
b = b(x, Λ)
и вспомним, наконец, что, вообще говоря, нефизическим является не только параметр Λ, но и сам x (как и любой другой параметр теории). Что по-настоящему физично, так это величины a и b, которым соответствуют реально измеримые на эксперименте величины. Из чего мы заключаем, что единственно важной является зависимость
b = b(a)
одной “реальной” величины от другой. И вот эта-то зависимость уже вполне может в себя не включать никаких промежуточных невесть откуда взявшихся параметров.
Наша исходная проблема заключалась в том, что мы с самого начала предположили, что параметры нашей теории являются “хорошими” конечными числами. В то же время, единственное, что должно выглядеть пристойно это зависимость b от a.
Теперь посмотрим, как всё это работает в реальной жизни. В квантовой электродинамике имеются всего два числовых параметра — масса электрона и его заряд.
Введём теперь в рассмотрение несколько величин:
eb — некий параметр нашей теории (который часто называют “голым” зарядом электрона),
e1 — заряд электрона, измеренный в эксперименте, проведённом на энергии E1 ,
e2 — заряд электрона, измеренный в эксперименте, проведённом на энергии E2 ,
Λ — вспомогательная нефизическая величина, возникающая в результате вычислений.
Обратите внимание — заряд электрона является величиной, зависящей от энергии!
Попытки предсказать результаты экспериментов выдают примерно следующее. Предсказания для e1 и e2 имеют вид:
Однако отвлечёмся от математики и ещё раз опишем доступным языком, что же именно произошло в процессе наших выкладок. А из заумного оставим только названия.
Регуляризация: в процессе вычисления экспериментально измеряемой величины мы столкнулись с расходящимися интегралами. Вместо того, чтобы писать “∞”, мы пишем “Λ”, намереваясь в какой-то момент осуществить переход Λ → ∞ (если Λ вообще в него войдёт).
Ренормализация: выразив одну измеримую величину через другую, мы получаем выражение, в котором ни Λ, ни eb не фигурируют.
Важнейшим результатом является зависимость такой величины, как, например, электрический заряд, от энергии, на которой проводится реакция. Это явление получило название “бегущей константы связи”, а уравнение, описывающее соответствующую зависимость, называется уравнением ренормгруппы.
В данном изложении мы шли историческим путём — идея ренормализации у нас появилась в качестве попытки получить осмысленные результаты для теории с расходимостями. Следует отметить однако, что ренормализация и бег константы связи не обязательно привязаны к наличию расходимостей в промежуточных вычислениях. Существуют теории, в которых все интегралы конечны, и никакой регуляризации не требуется. Но несмотря на это, почти во всех из них имеет место феномен ренормализации.
Заметим, что не в любой теории с бесконечностями трюк с регуляризацией помогает сформулировать способ систематически вычислять величины с всё возрастающей точностью. Те, в которых это сделать не удаётся, именуют “неперенормируемыми”; они не могут претендовать на то, чтобы называться фундаментальными, поскольку на определённых масштабах энергии эти теории теряют свою предсказательную силу и фактически становятся бесполезными. К ним, в частности, относится “наивная” версия квантовой гравитации, получающаяся путём квантования уравнений Эйнштейна в лоб. Впрочем, на каких-то масштабах энергии может быть польза и от таких теорий. В частности, именно так обстоит дело с теорией электрослабого взаимодействия, разработанной в 1930-х годах Энрико Ферми.
Стабильными и легко наблюдаемыми частицами (т.е. такими, которые мы можем поймать детектором), участвующими в электрослабом взаимодействии, являются четыре фермиона. Ими могут быть, например, нейтрон (n), протон (p), электрон (e) и электронное нейтрино (νe):
n → p + e + νe’ .
Именно эта реакция носит название радиоактивного распада. Здесь через νe’ мы обозначили анти-нейтрино: оказывается, что несмотря на отсутствие у нейтрино электрического заряда, оно не тождественно своей античастице!
Другим примером электрослабой реакции является распад μ-мезона (мюона) на мюонное нейтрино, электронное анти-нейтрино и электрон:
μ → νμ + e + νe’ .
Вполне логичным представляется предположение, что фейнмановские диаграммы, описывающие элементарные процессы такого взаимодействия, выглядят так:
Здесь каждая линия соответствует какому-то фермиону, а в вершине происходит процесс, представленный на предыдущей картинке.
Причина такого положения дел заключается как раз в том, что теория Ферми является не фундаментальной (верной на любых масштабах энергии), а эффективной (дающей правильные предсказания в определённом диапазоне энергий).
В случае теории Ферми удалось ту фундаментальную теорию, чьим предельным случаем является первая (а для квантовой гравитации не получается!). Ей оказалась современная теория электрослабого взаимодействия, разработанная Глэшоу, Саламом и Вайнбергом, и являющаяся частью Стандартной модели. В ней процесс взаимодействия между фермионами выглядит так:
Одним из главных достоинств электрослабой теории является то обстоятельство, что она перенормируема (за доказательство чего получили нобелевскую премию Вельтман и ’т Хоофт) — в ней вылезающие на каждом углу бесконечности удаётся приручить и возможным оказывается получать осмысленные результаты со всё большей точностью.
А закончим мы эту статью упоминанием человека, внёсшего наиболее значительный вклад в развитие идей ренормализации, лауреата нобелевской премии, Кеннета Вильсона, известного за пределами физики также среди любителей вязания, благодаря названной в честь своего создателя петле Вильсона (Wilson loop).
