Ренормализация и регуляризация

На пути к нашей промежуточной цели, более подробному разговору об AdS/CFT, нам придётся поговорить о том, что из себя представляют конформные теории поля (CFT, conformal field theory) — об этом чуть позже. Тема же сегодняшнего разговора, ренормализация, станет некоторым оправданием того, почему в принципе имеет смысл эти самые конформные теории поля рассматривать.

Сразу скажем, что данная статья отличается большими размерами и довольно сильно математизирована.

Как мы уже неоднократно упоминали, в процессе вычислений в квантовой теории поля зачастую возникают расходящиеся интегралы. Точнее, они могут возникнуть при попытке продвинуться в вычислениях чуть дальше самого грубого приближения, с которым обычно проблем не возникает и которое зачастую не даёт ничего нового по сравнению с классической физикой.

Для начала, отметим, что “точные решения” большинства задач в самых разных областях физики неизвестны. Более того, особой надежды на их нахождение и нет (порой отсутствие таковых даже можно доказать — ситуация типичная для математики). С другой стороны, конечная цель физика — качественное понимание сути происходящих процессов. Количественное же описание всегда достигается в том или ином приближении. Поэтому решённой задача обычно считается тогда, когда предъявляется конструктивный способ вычислять приближения к точному решению со сколь угодно высокой точностью.

Например, в физике элементарных частиц типичный подход заключается в том, чтобы при изучении элементарных частиц сначала считать их невзаимодействующими, а затем начинать со всё большей точностью учитывать малое (в каком-то смысле) их взаимодействие между собой. Как мы уже знаем, работает такой подход не всегда. Скажем, в квантовой хромодинамике свободные кварки тут же слипаются в составные частицы, а вовсе не пролетают каждый в свою сторону, едва замечая друг друга. Однако сосредоточимся на некоторое время на более простой ситуации, которая, например, имеет место быть, в самой известной и многократно проверенной квантово-полевой модели — квантовой электродинамике, описывающей взаимодействия заряженных частиц и фотонов.

Последовательный учёт поправок к тому или иному процессу может быть естественным образом организован в виде так называемого ряда теории возмущений. Графическим изображением его членов являются фейнмановские диаграммы, в каждой из них закодирована вполне определённая формула.

Нижеприведённые диаграммы соответствуют распространению свободного фотона:

В нулевом порядке мы просто пользуемся описанием того, как фотон распространяется в свободной теории, лишённой каких-либо взаимодействий. Порядок диаграммы определяется количеством входящих в неё вершин (точек, где сходятся одна волнистая линия, фотонная, и две сплошные, фермионные — на рисунке они отмечены буквой a). Чем больше вершин, тем порядок диаграммы выше и тем меньше её вклад, поскольку каждой вершине соответствует малый параметр. Для рассматриваемого процесса следующий возникающий после нулевого порядок — второй. А интерпретировать соответствующую диаграмму можно как кратковременное превращение фотона в виртуальную пару, состоящую из электрона и позитрона.

Аналогичным образом выглядят поправки к процессам рассеяния на ускорителях элементарных частиц. Типичная реакция выглядит так: навстречу друг другу направляются два пучка частиц, предварительно ускоренных до околосветовых скоростей. Небольшая их часть взаимодействует друг с другом, конечные продукты этих реакций регистрируются детектором, а результаты (количество столкновений, выделившаяся энергия и т.д.) сравниваются с предсказаниями теории. Рассеяние двух электрически заряженных частиц посредством электрического поля, переносчиком которого являются фотоны, изображается с помощью фейнмановских диаграмм следующим образом:

Первой из этих диаграмм вполне достаточно для того, чтобы вывести кулоновский потенциал, эффективно описывающий электрическое взаимодействие между заряженными частицами на низких энергиях. Если же мы хотим изучать поведение частиц при высоких энергиях, то нам необходимо вычислять поправки с большим количеством вершин.

При этом оказывается, что при вычислении диаграмм, содержащих петли, частенько возникают расходящиеся интегралы — если говорить школьным языком, то “ответ получается равным бесконечности”. Такое положение дел некоторое время смущало физиков, пока они не начали рассуждать примерно так: Бог с ними, с бесконечностями, мало ли что там получается на бумажке. Наша цель проста — измерить что-то при помощи эксперимента A, создать теорию X и с их помощью предсказать результат эксперимента B. Иными словами, связка
A → X → B
должна работать адекватно. В то же время, если теория X сама по себе выглядит немного подозрительно, то это не так уж страшно.

Попытаемся изложить наши мысли чуть более строго. Допустим, в экспериментах A и В мы измеряются величины a и b, соответственно. Пусть, в свою очередь, x — некий параметр нашей теории, через который мы пытаемся выразить обе величины. Иначе говоря, наш исходный план таков: измерить a, вычислить x, вычислить b.

Однако, зачастую оказывается, что при попытке предсказать величину a (перед тем как начать её измерять) наша теория выдаёт что-то вроде
a = a(x, Λ)     ,
где a(x, Λ) представляет из себя некоторое страшное выражение, в которое, помимо всего прочего, входит совершенно нефизический и невесть откуда взявшийся параметр Λ. Берётся этот параметр чаще всего в результате регуляризации — процедуры, при которой в расходящемся интеграле, бесконечный предел заменяют этой самой Λ. Разумеется, в конце вычислений нам бы хотелось либо осуществить переход Λ→∞. А ещё лучше — если этот параметр и вовсе не будет присутствовать в окончательном ответе.

Теперь проделаем аналогичные выкладки для второго эксперимента:
b = b(x, Λ)    
и вспомним, наконец, что, вообще говоря, нефизическим является не только параметр Λ, но и сам x (как и любой другой параметр теории). Что по-настоящему физично, так это величины a и b, которым соответствуют реально измеримые на эксперименте величины. Из чего мы заключаем, что единственно важной является зависимость
b = b(a)
одной “реальной” величины от другой. И вот эта-то зависимость уже вполне может в себя не включать никаких промежуточных невесть откуда взявшихся параметров.

Наша исходная проблема заключалась в том, что мы с самого начала предположили, что параметры нашей теории являются “хорошими” конечными числами. В то же время, единственное, что должно выглядеть пристойно это зависимость b от a.

Теперь посмотрим, как всё это работает в реальной жизни. В квантовой электродинамике имеются всего два числовых параметра — масса электрона и его заряд.

Введём теперь в рассмотрение несколько величин:
eb — некий параметр нашей теории (который часто называют “голым” зарядом электрона),
e1 — заряд электрона, измеренный в эксперименте, проведённом на энергии E1 ,
e2 — заряд электрона, измеренный в эксперименте, проведённом на энергии E2 ,
Λ — вспомогательная нефизическая величина, возникающая в результате вычислений.

Обратите внимание — заряд электрона является величиной, зависящей от энергии!

Попытки предсказать результаты экспериментов выдают примерно следующее. Предсказания для e1 и e2 имеют вид:

Как и было заявлено, они включают в себя нефизический параметр Λ и (ничуть не более физический) параметр eb. Однако давайте теперь решим эту несложную систему, выразив e1 непосредственно через e1:

О чудо! Оказывается, что заряды электронов на разных энергиях прекрасно выражаются друг через друга.

Однако отвлечёмся от математики и ещё раз опишем доступным языком, что же именно произошло в процессе наших выкладок. А из заумного оставим только названия.

Регуляризация: в процессе вычисления экспериментально измеряемой величины мы столкнулись с расходящимися интегралами. Вместо того, чтобы писать “∞”, мы пишем “Λ”, намереваясь в какой-то момент осуществить переход Λ → ∞ (если Λ вообще в него войдёт).
Ренормализация: выразив одну измеримую величину через другую, мы получаем выражение, в котором ни Λ, ни eb не фигурируют.
Важнейшим результатом является зависимость такой величины, как, например, электрический заряд, от энергии, на которой проводится реакция. Это явление получило название “бегущей константы связи”, а уравнение, описывающее соответствующую зависимость, называется уравнением ренормгруппы.

В данном изложении мы шли историческим путём — идея ренормализации у нас появилась в качестве попытки получить осмысленные результаты для теории с расходимостями. Следует отметить однако, что ренормализация и бег константы связи не обязательно привязаны к наличию расходимостей в промежуточных вычислениях. Существуют теории, в которых все интегралы конечны, и никакой регуляризации не требуется. Но несмотря на это, почти во всех из них имеет место феномен ренормализации.

Заметим, что не в любой теории с бесконечностями трюк с регуляризацией помогает сформулировать способ систематически вычислять величины с всё возрастающей точностью. Те, в которых это сделать не удаётся, именуют “неперенормируемыми”; они не могут претендовать на то, чтобы называться фундаментальными, поскольку на определённых масштабах энергии эти теории теряют свою предсказательную силу и фактически становятся бесполезными. К ним, в частности, относится “наивная” версия квантовой гравитации, получающаяся путём квантования уравнений Эйнштейна в лоб. Впрочем, на каких-то масштабах энергии может быть польза и от таких теорий. В частности, именно так обстоит дело с теорией электрослабого взаимодействия, разработанной в 1930-х годах Энрико Ферми.

Стабильными и легко наблюдаемыми частицами (т.е. такими, которые мы можем поймать детектором), участвующими в электрослабом взаимодействии, являются четыре фермиона. Ими могут быть, например, нейтрон (n), протон (p), электрон (e) и электронное нейтрино (νe):
n → p + e + νe’    .
Именно эта реакция носит название радиоактивного распада. Здесь через νe’ мы обозначили анти-нейтрино: оказывается, что несмотря на отсутствие у нейтрино электрического заряда, оно не тождественно своей античастице!

Другим примером электрослабой реакции является распад μ-мезона (мюона) на мюонное нейтрино, электронное анти-нейтрино и электрон:
μ → νμ + e + νe’     .

Вполне логичным представляется предположение, что фейнмановские диаграммы, описывающие элементарные процессы такого взаимодействия, выглядят так:

Подобное предположение позволяет успешно предсказывать результаты экспериментов на не слишком высоких энергиях, пока хватает точности самого грубого приближения, изображённого выше. Однако при попытке вычислить в этой теории диаграммы более высокого порядка, оказывается, что все они безнадёжно расходятся — настолько, что получить осмысленные результаты не получается никак. Выглядят эти диаграммы примерно так:

Здесь каждая линия соответствует какому-то фермиону, а в вершине происходит процесс, представленный на предыдущей картинке.

Причина такого положения дел заключается как раз в том, что теория Ферми является не фундаментальной (верной на любых масштабах энергии), а эффективной (дающей правильные предсказания в определённом диапазоне энергий).

В случае теории Ферми удалось ту фундаментальную теорию, чьим предельным случаем является первая (а для квантовой гравитации не получается!). Ей оказалась современная теория электрослабого взаимодействия, разработанная Глэшоу, Саламом и Вайнбергом, и являющаяся частью Стандартной модели. В ней процесс взаимодействия между фермионами выглядит так:

Данная диаграмма сильно напоминает обычное электромагнитное взаимодействие. Вот только переносчиком теперь является не электрически нейтральный фотон, а имеющий заряд W-бозон. Впрочем, помимо заряженного W-бозона в электрослабом взаимодействии может участвовать и электрически нейтральный Z-бозон. Правда, в рассмотренном процессе он нам пригодиться не может, поскольку, как следует из картинки, в данном случае переносчик взаимодействия должен быть способен передать электрический заряд от мюона к электрону.

Одним из главных достоинств электрослабой теории является то обстоятельство, что она перенормируема (за доказательство чего получили нобелевскую премию Вельтман и ’т Хоофт) — в ней вылезающие на каждом углу бесконечности удаётся приручить и возможным оказывается получать осмысленные результаты со всё большей точностью.

А закончим мы эту статью упоминанием человека, внёсшего наиболее значительный вклад в развитие идей ренормализации, лауреата нобелевской премии, Кеннета Вильсона, известного за пределами физики также среди любителей вязания, благодаря названной в честь своего создателя петле Вильсона (Wilson loop).

Природа неопределённости в квантовой механике

Данный пост рассчитан на людей, знакомых с азами квантовой механики. Мы подробно поговорим о чистых, смешанных и спутанных состояниях и о различной природе неопределённости в квантовой механике.

Сегодня мы побеседуем о различных видах неопределённости, с которыми мы сталкиваемся в квантовой механике. При этом ключевым математическим объектом рассмотрения для нас будет являться матрица плотности. Оказывается, что многие, прослушав стандартный курс квантовой механики, плохо себе представляют её смысл.

Большинство учебников начинаются с утверждения, что состояние квантовой системы задаётся вектором в гильбертовом пространстве, на котором действуют операторы, соответствующие наблюдаемым. Неудивительно, что читатель испытывает дискомфорт, когда через несколько сот страниц он узнаёт, что вообще-то не любое состояние системы можно описать с помощью одного единственного вектора состояния. Наиболее общее состояние квантовой системы задаётся с помощью матрицы плотности — так называемой некогерентной смеси квантовых состояний.

Оказывается, за понятиями смеси и матрицы плотности стоит очень простой физический смысл. Они соответствуют вероятностному характеру нашей информированности о состоянии системы. Но как же, воскликнет читатель, — ведь в квантовом мире вероятностно всё! В чём разница?

Всё дело в том, что в квантовой механике есть две различных причины вероятностного исхода событий. Одна из них является отражением чисто классического явления — нашего незнания того, в каком состоянии находится система. Если Вам не сказали, в какой из двух коробок прячется кот, и Вы открываете одну из них наугад, это ещё не значит, что в момент открытия происходит коллапс волновой функции кота, и он вдруг материализуется в одной из коробок.

А вот другая причина имеет чисто квантовую природу, и именно с её изучения начинается большинство курсов по квантовой механике. Связана она с процессом измерения состояния квантовой системы. Она заключается в том, что, зачастую, даже идеально точно зная состояние системы и параметры измерения, Вы не можете однозначно предсказать его исход. Тут важно оговориться — смотря какого измерения. Если система находится в чистом состоянии, то для каждого такого состояния можно подобрать измерение, результат которого будет достоверно известен заранее. Таким образом, чистое состояние в квантовой механике является аналогом классического состояния, не несущего вероятностный характер — такого, в котором значения определённых наблюдаемых известны точно.

Поясним вышесказанное на примере всем известного эксперимента Штерна-Герлаха. Пролетая через магнитное поле, частица, обладающая спином, может отклониться в ту или иную сторону. Таким образом, глядя на её траекторию, мы можем определить её спин.

Для начала рассмотрим классическую версию этого эксперимента. Пусть наши частицы — маленькие заряженные шарики, вращающиеся вокруг собственной оси. Классическое “чистое” состояние частицы — такое, в котором нам заранее известно направление оси вращения частицы. А значит, мы можем предсказать исход любого измерения, связанного с её пролётом через магнитное поле. Подчёркнём, что в классической механике знание состояние системы позволяет предсказать исход любого эксперимента. Например, если ось вращения частицы направлена вдоль оси z, то, приложив магнитное поле также вдоль оси z, мы можем предсказать, отклонится частица вверх или вниз. Если же магнитное поле направлено вдоль оси x, то частица гарантированно никуда не отклонится.

Классический аналог смешанного состояния соответствует вероятностному характеру нашей информированности о направлении оси вращения частицы. Пусть нам, например, известно, что частица с вероятностью ½ закручена вокруг оси z либо в одну, либо в другую сторону. Либо имеется поток частиц, половина из которых закручена в одну сторону, а половина — в другую, но мы не знаем, как именно каждая из них. Повторимся, неопределённость в данном случае является совершенно классическим явлением и связана исключительно с неполнотой нашей информированности о состоянии системы.

Теперь перейдём к квантовой постановке задачи. Для простоты будем рассматривать частицу со спином ½, измерение проекции спина которой вдоль любой оси может иметь всего два исхода — вверх или вниз. Сначала мы приготовим частицу в чистом состоянии, для чего мы воспользуемся прибором Штерна-Герлаха в первый раз. Предположим, что в него влетает квантовая частица; неважно, в каком состоянии. В момент нашего наблюдения за её траекторией осуществляется измерение, а волновая функция коллапсирует в одно из двух состояний, соответствующих противоположным проекциям спина вдоль той или иной оси. Сразу после этого направление спина частицы становится вполне определённым и, более того, нам известным. Теперь мы вновь воспользуемся прибором Штерна-Герлаха, уже для проведения измерения над частицей, чьё состояние известно. Если мы снова измерим проекцию спина частицы на то же направление, то всенепременно получим тот же результат, что и в первом измерении. В этом и заключается смысл того, что частица после прохождения через первый измерительный прибор оказывается в чистом состоянии, — существует измерение, результат которого мы можем предсказать.

С другой стороны, если бы во втором опыте мы измеряли проекцию спина на любую другую ось, то в таком случае предсказать с результат с достоверностью было бы уже невозможно. Именно в этом и заключается природа квантовой неопределённости: сколь угодно точное знание одной наблюдаемой может быть в противоречии со знанием значения другой — именно таков смысл соотношения неопределённости Гейзенберга. Ещё раз: состояние частицы с проекцией спина вдоль оси z характеризуется тем, что, во-первых, так же как и в классической механике, измерив её спин вдоль z, мы получим наперёд известный результат, а во-вторых, тем, что достоверно предсказать результат измерения проекции спина вдоль любой другой оси мы уже не можем — и это есть эффект квантовый.

Перейдём наконец к квантовой некогерентной смеси. Пусть теперь в наш прибор влетает поток частиц, половина из которых закручена вдоль z вверх, а половина — вниз. То есть, так же, как и в классическом случае, мы не обладаем полной информацией о состоянии каждой частицы, и вероятностным является уже само по себе наше знание о состоянии системы. Ясно, что в данном случае не существует эксперимента по измерению проекции спина, результат которого мы можем предсказать.

Понятие матрицы плотности позволяет естественным образом учитывать чисто классический индетерминизм на квантовом уровне. Иными словами, она является квантовым аналогом классической функции распределения вероятности. У матрицы плотности вида

ρ = α1 |ψ1⟩⟨ψ1| + α2 |ψ2⟩⟨ψ2| + ...

величины αi являются чисто классическими вероятностями того, что частица находится в одном из состояний |ψi⟩.

Здесь нам необходимо сделать важную оговорку. Хотя матрица плотности в квантовой механике и отвечает ситуации, когда мы не обладаем полной информацией о системе, природа этого незнания может быть не только классической, но и квантовой. И здесь мы переходим к рассмотрению одного из самых интересных квантовых феноменов — спутанности (entanglement), лежащей в основе парадокса Энштейна-Подольского-Розена и квантовой телепортации.

Одной из особенностей квантового мира является способность двух квантовых систем, взаимодействовавших на каком-то этапе, а после разнесённых в пространстве, сохранять информацию друг о друге. Или, вернее сказать, это свойство квантовых систем даже после прекращения взаимодействия между ними продолжать находиться в состоянии, которое невозможно описать, рассматривая их по отдельности. В подобных случаях оказывается, что отсутствие информации о второй части системы естественным образом вынуждает нас описывать состояние первой системы при помощи матрицы плотности, даже если состояние полной системы является чистым.

Для того, чтобы пояснить сказанное на простом примере, вернёмся к уже описанной двухуровневой системе, или, что то же самое, к состояниям частицы со спином ½. Будем для определённости называть их “вверх” (|↑⟩) и “вниз” (|↓⟩).

Предположим, что частица находится в чистом состоянии

|ψ⟩ = ( |↑⟩+ |↓⟩)/√2  .

Если мы будем измерять наблюдаемую, возможные значения которой отвечают состояниям |↑⟩ и |↓⟩, то будем с вероятностью ½ получать один из двух исходов. Однако, как мы уже знаем, само по себе это не означает, что частица находится в смешанном состоянии, — поскольку оно описывается единственным вектором |ψ⟩, оно по определению является чистым.  А значит, существует измерение, результат которого будет однозначен. Например, если состояния “вверх” и “вниз” отвечают проекциям спина вдоль оси z, то |ψ⟩ отвечает строго определённому значению проекции спина вдоль оси x.

Матрица плотности, описывающая такое состояние, является проектором

Pψ = |ψ⟩⟨ψ|  .

С другой стороны, если система находится в состоянии

ρmixed = ½ |↑⟩⟨↑| + ½ |↓⟩⟨↓|     ,

отвечающем классической ситуации “то ли вверх, то ли вниз”, то эксперимента, результат которого мы можем с достоверностью предсказать, не существует. Математически это можно сформулировать как невозможность записать матрицу плотности в виде единственного проектора:

∄|φ⟩:     ρmixed = |φ⟩⟨φ|  .

Оказывается, что ко второй ситуации можно естественным образом прийти, рассматривая состояния системы, состоящей из двух спинов. Для простоты ограничимся случаем, когда система из двух спинов находится в максимально спутанном состоянии.

|Ψmax⟩ = ( |↑⟩ |↑⟩ +  |↓⟩ |↓⟩)/√2 .

Здесь первый и второй векторы в произведениях отвечают, соответственно, состояниям первой и второй подсистем.

Для начала поясним название этого вектора. Предположим, что мы можем проводить измерение проекции спина вдоль оси z  в одной из двух подсистем. Проведя такой опыт, мы незамедлительно определим, в каком состоянии находится вторая подсистема. Или, вернее сказать, мы узнаем, в каком состоянии вторая подсистема окажется после нашего измерения (ведь коллапс волновой функции произойдёт именно вследствие нашего вмешательства в первую систему). Действительно, если в результате измерения в первой системе результат окажется равным |↑⟩, это будет означать, что общая волновая функция системы оказалась равной |↑⟩|↑⟩, и наоборот. Более строго, вектор |Ψmax⟩ ортогонален состояниям с разным спином:

⟨↓|⟨↓|Ψmax⟩ = ⟨↑⟨↑|Ψmax⟩ = 0  ,

а значит невозможно измерение, при котором результаты измерения двух спинов оказались бы различными. В этом и заключается смысл спутанности — проводя измерение над одной частью большой системы, мы тут же “бесплатно” узнаем и состояние другой её части. При этом, что характерно, узнаём совершенно мгновенно, как бы далеко та часть от нас не находилась.

В этом и заключается смысл парадокса Энштейна-Подольского-Розена. В самом деле, кажется, что мы можем таким образом получать информацию об объекте, находящемся от нас сколь угодно далеко. Но ведь информация не может распространяться быстрее скорости света!

Разрешает мнимый парадокс довольно просто. Хотя мы и можем что-то мгновенно узнать о находящейся сколь угодно далеко от нас системе, наладить канал передачи информации с помощью этого трюка не удастся: наблюдатель, находящийся вблизи удалённой от нас системы даже не поймёт, что мы уже косвенно провели над ней измерение. А сообщить ему о результате нашего измерения быстрее, чем со скоростью света, никак не получится.

Зададимся теперь вопросом — а как, собственно, каждый из наблюдателей, имеющих на руках по одной из частей системы, должен свою подсистему описывать? Нетрудно догадаться, что, не имея информации о второй части системы, наблюдатель будет с равной вероятностью получать в ходе эксперимента одно из двух значений проекции спина. Но ведь мы уже знаем, что такое положение дел в точности соответствует смешанному состоянию подсистемы!

Таким образом, с точки зрения наблюдателя, имеющего доступ исключительно к первой подсистеме, чистое состояние |Ψmax⟩ полной системы эквивалентно смешанному состоянию ρmixed его подсистемы. Оказывается, что утверждение является общим: систему находящуюся в смешанном состоянии всегда можно описать как подсистему большей системы, находящейся в чистом состоянии. Как пишет в своей книге Джон Прескилл, “The notion that an open system may always be regarded as part of a larger closed system is fondly known as the church of the larger Hilbert space”. Математической операцией, позволяющей перейти от состояния большой системы (не обязательно чистого — в общем случае оно также может быть смешанным) к состоянию её подсистемы, является частичное взятие следа (partial trace).

Заметим однако, что квантовая природа данного эксперимента и его отличие от двух “классических чёрных ящичков” заключается также и в том, что имея доступ к обеим системам, мы вполне можем постараться и организовать эксперимент таким образом, чтобы его результат был предопределён, — поскольку полная система находится в чистом состоянии, описываемом одним единственным вектором |Ψmax⟩.

Сформулируем вкратце наши основные выводы:

“Чистое состояние” в классической физике отвечает наличию у наблюдателя полной информации о системе. Результат любого эксперимента может быть предсказан. Состояние задаётся значениями всех координат и импульсов. Иными словами, распределение вероятности на фазовом пространстве имеет вид произведения дельта-функций.

q1  = q1,initial , p1  = p1,initial , ....

ρ(q1 ,p1 , ...) = 𝛿(q1 - q1,initial) 𝛿(p1 - p1,initial) ...

“Смешанное состояние” в классической физике есть не что иное, как описание системы на языке распределений вероятности и соответствует неполноте информации о системе. Значения координат и импульсов задано вероятностным распределением в фазовом пространстве.

ρ(q1 ,p1 , ...) — произвольное распределение.

Чистое состояние квантовой системы — такое, в котором мы имеем наиболее полную информацию о системе. Мы не можем точно предсказать исход большинства экспериментов, но непременно существуют измерения, чей исход известен. Состояние описывается одним вектором в гильбертовом пространстве. Если степеней свободы несколько, то такой вектор является тензорным произведением векторов, отвечающих отдельным степеням свободы, или суммой таковых.

Пример чистого состояния в системе с одной степенью свободы:

|Ψpure,1⟩ = ( |↑⟩ -|↓⟩)/√2  ,

ρpure,1 = |Ψpure,1⟩⟨Ψpure,1|  .

Пример чистого состояния в системе с двумя степенями свободы:

|Ψpure,2⟩ = ( |↓⟩ |↑⟩ +  |↑⟩ |↓⟩)/√2  ,

ρpure,2 = |Ψpure,2⟩⟨Ψpure,2|  .

Смешанное состояние квантовой системы — ситуация, когда система с некоторой вероятностью находится в одном из чистых состояний. Как и в классическом случае, причиной является отсутствие у нас полной информации. Но если в классическом случае для предсказания результата эксперимента нам всегда достаточно знать, каково состояние измеряемой системы, то в квантовом случае, благодаря явлению запутанности, нам может также потребоваться информация о другой системе, спутанной с данной.

Пример смешанного состояния в системе с одной степенью свободы:

ρmixed = ¼ |↑⟩⟨↑| + ¾ |↓⟩⟨↓|  .

Пример смешанного состояния в системе с двумя степенями свободы:

ρpure,2 = ⅓|1⟩|1⟩⟨1|⟨1| + ⅔|2⟩|2⟩⟨2|⟨2|  .

Теория струн

На данный момент теория струн является одним из самых бурно развивающихся и популярных направлений в современной теорфизике. Она уже успела пройти путь от смелой идеи до мощного инструмента, которым пользуются в различных областях физики и математики. Правда, многие скептики считают, что рынок “струнщиков” переполнен и что, в отсутствие экспериментальных результатов, последним скоро уже некуда будет податься со своими изощрёнными вычислениями. Попробуем разобраться, в чём заключается притягательность этой теории.

Языком, с помощью которого физики-теоретики описывают процессы, связанные с элементарными частицами, является квантовая теория поля. О ней вполне можно думать как о квантовой теории многих частиц. В статье о квантовой гравитации мы уже затрагивали вопрос квантования классической системы. Так вот, если в такой системе степеней свободы очень много, то квантово-механическим её описанием как раз и является квантовая теория поля. Используется она прежде всего для описания процессов рождения и распада элементарных частиц.

Сразу оговоримся, что строгая обоснованность математического аппарата квантовой теории поля — вопрос открытый. В процессе вычислений приходится постоянно натыкаться на расходящиеся интегралы, жонглировать бесконечностями и заметать их под ковёр и т.д. Несмотря на то, что для каждого шага, от которого у математиков замирает сердце, у физиков есть правдоподобное (на их взгляд) объяснение, даже последние часто не вполне удовлетворены существующей конструкцией.

Второй постулат специальной теории относительности гласит, что ничто не способно перемещаться быстрее скорости света (ну разве что при расширении Вселенной различные точки пространства могут удаляться друг от друг ещё быстрее…), а значит, если в какой-то точке пространства происходит рождение частицы, то первое время соседние точки об этом замечательном факте никак не осведомлены. Кстати, а какой постулат первый, помните? Подсказка — он унаследован из галилеевской механики. Так вот, локальность с одной стороны совершенно фундаментальна и необходима, но с другой — она часто приводит к различным проблема при вычислениях, например к появлению всевозможных “бесконечных” промежуточных результатов. Типичный способ “взять это дело под контроль” заключается в том, чтобы ввести параметр, отвечающий за некоторое “размытие” процесса в пространстве, а потом устремить этот параметр к нулю.

Впрочем, возможно и другое решение проблемы. В самом деле, если не “размыть” взаимодействие в четырёх измерениях, то почему бы не осуществить это в дополнительных измерениях?? Поясним идею на простом примере. Представим для простоты элементарную частице как точку. В таком случае заметаемая ей в пространстве-времени траектория будет выглядеть как ниточка. Элементарный процесс взаимодействия таких ниточек изображён на нижеприведённой картинке слева (время течёт вдоль вертикальной оси):

А теперь предположим, что частица является на самом деле не точкой, а, скажем, очень маленьким колечком. В таком случае её траектория будет очень тонкой трубочкой, а процессу распада будут соответствовать “штанишки”, как на картинке справа. Согласитесь, вторая картинка изображает куда более приятный для глаза объект — гладкий и просто симпатичный. Надо, правда, сразу оговориться — колечко это живёт не только в наших привычных четырёх измерениях, но ещё и в тех, которыми мы вынуждены дополнить нашу теорию. Поэтому его проекция на наш четырёхмерный мир будет выглядеть примерно так же, как и картинка слева. К тому же, предполагается, что радиус колечек куда намного меньше любых доступных нам масштабов.

Чувство прекрасного нас здесь не подводит, и построенная из таких ниточек теория с математической точки зрения оказывается лишенной многих изъянов, присущих традиционной квантовой теории поля. Более того, в ней естественным образом появляются все известные нам взаимодействия, включая гравитационное… а также ещё много чего, что мы пока не наблюдаем.

Последнее является одной из причин серьёзного скептицизма по отношению к теории струн. Представьте себя на месте физиков, годами с помощью своих теорий успешно описывавших наш мир, к которым приходят математики и говорят: “сейчас мы всю вашу науку перепишем в 10 раз правильнее и в 10 раз сложнее”. Физики говорят: “да пожалуйста, а результат-то какой?”. А математики отвечают: “теперь всё строго” — уж такие у математиков цели по жизни. И единственное, что спасает математиков, так это то, что у самих физиков глубокий кризис, особых результатов уже давненько нет, и оттого готовы они даже на такие ухищрения, как теория струн.

Подтрунивать над теорией струн можно сколько угодно, но важно понимать, что она способна на куда большее, чем строгая формулировка традиционной квантовой теории поля, являющейся одним из её предельных случаев. И одно из самых её важных применений — AdS/CFT дуальность, к разговору о которой мы медленно, но уверенно движемся.

Ссылки на тему:

• Рубаков и Гальцов рассказывают о теории струн у Гордона
• Введение в струны от Davide Gaiotto

AdS/CFT I

Двадцать лет назад аргентинский физик Хуан Малдасена опубликовал статью, положившую начало целому направлению в современной теоретической физике. В ней он доказал эквивалентность двух совершенно разных на первый взгляд физических теорий — существующих в разных количествах измерений и описывающих разные частицы и их взаимодействия. Оказалось, что различные величины в одной теории можно находить, используя другую теорию, а наоборот. Подобную ситуацию в физике обычно называют “дуальностью”, и дуальность AdS/CFT, о которой мы сегодня начинаем разговор, — возможно самый важный её пример на сегодняшний день.

Чтобы понять, как вообще можно было додуматься до того, что сделал Малдасена, начнём несколько издалека. Для начала, введём понятие степеней свободы — независимых переменных в физической системе (в механической системе это попросту координаты тел). Например, если нас интересуют колебания кубической кристаллической решётки в теле, в котором вдоль каждого измерения укладывается порядка N атомов (для простоты считаем атомы точками, игнорируя их внутреннюю структуру), то число степеней свободы будет где-то 3N3 (каждый атом может колебаться в трёх направлениях, а всего их N3 штук). Очевидно, что во всех привычных ситуациях число степеней свободы пропорционально объёму системы — в два раза больше атомов, в два раза больше нужно чисел, чтобы задать их положения.

Впрочем, оказывается, что системы, в которых в одним из взаимодействий является гравитационное, ведут себя несколько иначе. В них максимальное число степеней свободы системы, которое в принципе можно впихнуть в данный объём, пропорционально площади поверхности этого объёма. Об этом хорошо написано здесь. Логика вкратце такая:

1. Если в фиксированный объём пространства безостановочно добавлять массу, то в какой-то момент в этом объёме образуется чёрная дыра.
2. Энтропия чёрной дыры пропорциональна её площади.
3. Энтропия физической системы пропорциональна числу степеней свободы.

Получается, что D-мерная гравитационная система в смысле количества степеней свободы ведёт себя так, как (D-1)-мерная система без гравитации. Поэтому вполне естественно выдвинуть гипотезу, согласно которой гравитационную систему в D измерениях можно описывать (D-1)-мерной теорией на границе D-мерного объёма. Удивительным образом, в некоторых случаях эта догадка оказывается справедливой.

Но для того, чтобы понять, что же это за теории, нам придётся сделать небольшой экскурс в такие разделы физики, как теория струн и конформная суперсимметричная квантовая теория поля. Первая из них нам понадобится для описания D-мерной гравитации, вторая — для описания (D-1)-мерной поверхности. Об этом (и многом другом) мы обязательно поговорим в следующих постах, после чего будем в силах вернуться к более предметному разговору об AdS/CFT.

Ссылки на тему:

• n+1 — Гравитацию и квантовую теорию связали на микроскопическом уровне
• Ирина Арефьева — Голографическая дуальность,черные дыры и физика высоких энергий
• Hong Liu — String Theory and Holographic Duality